根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果公司未与员工签订书面劳动合同，公司可能需要承担以下责任：
支付双倍工资
如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，应向劳动者每月支付二倍的工资。
如果用人单位违反法律规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，则从应当订立无固定期限劳动合同之日起，向劳动者每月支付二倍的工资。
经济补偿
如果用人单位违反劳动合同法规定解除或终止劳动合同，应依照《劳动合同法》第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
其他可能的赔偿
劳动者还可以要求用人单位补缴社会保险费，以及赔偿因未缴纳社会保险而造成的损失。
维权途径
劳动者可以通过与用人单位协商解决、向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁、向法院提起诉讼或向劳动监察机构投诉等途径来维护自己的权益。
请注意，以上信息基于提供的参考信息，具体的法律适用可能因实际情况和当地法律的变化而有所不同。如果您需要更详细的法律咨询，请咨询专业律师或法律机构
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